✎ Déterminer les coefficients du polynôme Q qui divise P - Méthode

Pour déterminer les coefficients du polynôme \(Q\) tel que \(P(z)=(z-z_0)Q(z)\) , avec \(z_0\) racine de \(P\) .

Soit \(P\) un polynôme de degré \(n \geq 1\) et soit \(z_0 \in \mathbb{C}\) tel que \(P(z_0)=0\) .

• Méthode 1
  On note \(Q(z) = \sum \limits_{k=0}^{n-1} a_k z^k\) le polynôme tel que \(P(z)= (z-z_0)Q(z)\) . On cherche à déterminer les coefficients de \(Q\) .
  Pour cela, on peut développer \((z-z_0)Q(z)\) et « identifier » terme à terme les coefficient de ce polynôme et ceux de \(P\) .
• Méthode 2
  On s'inspire de la division euclidienne pour les entiers, qu'on adapte aux polynômes. Voir exemple d'application.

Remarque

Sur «  l'identification des coefficients » . Pour appliquer la méthode 1, on n'a besoin que d'une condition suffisante : pour que les deux polynômes soient égaux, il suffit que leurs coefficients soient égaux. La propriété suivante est aussi vraie et donne l'unicité des coefficients :
soit \(n\) un entier naturel et soit   \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) des nombres réels. On admet que si, pour tout \(z \in \mathbb{C}, \sum \limits_{k=0}^n a_k z^k =0\) , alors, pour tout \(k \in \{ 0;1; \ldots ; n \}\) , \(a_k=0\) .